107. Мы знаем (п. 102), что геометрическим местом точек, равноотстоящих от двух данных параллельных прямых, служит средняя параллельная. Если таким образом AB и CD (чер. 114) суть две параллельные и MN для них средняя параллельная, то расстояния любой точки E этой средней параллельной от AB и CD равны между собою, т. е., построив EF ⊥ AB и EG ⊥ CD, получим, что EF = EG.

Ясно, что построенные перпендикуляры EF и EG составляют продолжение друг друга и образуют один отрезок FG, перпендикулярный к нашим параллельным AB и CD, причем этот отрезок делится среднею параллельною (в точке E) пополам. Итак, всякий отрезок, перпендикулярный к двум параллельным и заключенный между ними, делится среднею параллельною пополам .

Возникает теперь вопрос: не будет ли также делиться пополам среднею параллельною какой-нибудь отрезок KL, не перпендикулярный к AB и CD. Пусть KL пересекается с MN в точке O. Построим через точку O перпендикулярный к прямым AB и CD отрезок HI. Тогда OH = OI. Так как, кроме того, ∠HOK = ∠IOL, как вертикальные, то прямоугольные треугольники OHK и OIL равны, откуда следует, что OK = OL. Итак, оказывается, что и любой отрезок, заключенный между двумя параллельными, делится среднею параллельною пополам.

Пусть AB || CD (чер. 115). Построив между ними ряд каких-либо отрезков EF, GH, KI и т. д., мы, согласно предыдущему, найдем, что середины этих отрезков лежат на средней параллельной MN. В общем итоге мы приходим к следующему заключению:

Геометрическим местом середин всевозможных отрезков, заключенных между двумя параллельными, служит средняя параллельная.

Отсюда возникают возможности различных построений средней параллельной для двух данных параллельных прямых: 1) мы можем, построим любой отрезок EF, заключенный между двумя данными параллельными AB и CD, разделить его пополам и через его середину построить прямую MN || AB || CD - это прямая MN и должна служить среднею параллельною, и она должна делить пополам всевозможные отрезки (напр., GH, KI и т. д.), заключенные между AB и CD. 2) Мы можем построить два отрезка, напр., EH и KI, заключенные между AB и CD, разделить каждый из них пополам и через их середины построить прямую MN - она и должна служить среднею параллельною.

108. Применим свойства средней параллельной к знакомым нам фигурам и прежде всего треугольнику.

Пусть имеем ∆ABC (чер. 116). Здесь непосредственно мы не имеем двух параллельных, но мы всегда можем их получить, напр., построив через вершину A прямую EF || BC (эту прямую EF можно было бы и не рисовать на чертеже, так как она существенной роли не играет в дальнейшем и так как достаточно лишь знать, что она существует). Тогда мы имеем две параллельных BC и EF и два отрезка AB и AC, заключенных между ними. Разделив их пополам в точках M и N (AM = MB и AN = NC) и построив через M и N прямую MN, мы получим среднюю параллельную MN, т. е. MN || BC (и || EF, но это для нас не существенно). Из этого заключаем:

прямая, соединяющая середины двух сторон треугольника, параллельна его третьей стороне.

Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, называют среднею линиею треугольника . Итак, у нас отрезок MN есть средняя лини нашего треугольника.

Пусть имеем ∆ABC (чер. 117). Разделим пополам каждую из его сторон: пусть M есть середина AB (сл. AM = MB), N - середина AC (AN = NC) и P - середина BC (BP = PC); соединим точки M, N и P отрезками MN, MP и PN, - каждый из этих отрезков является среднею линиею для нашего треугольника. Таким образом в треугольнике имеется три средних линии.

Согласно предыдущему, будем иметь: MN || BC, MP || AC и NP || AB. Поэтому AMPN, BMNP и PMNC суть параллелограммы. Так как в параллелограмме противоположные стороны равны, то имеем: MN = BP (из параллелограмма BMNP), но BP = BC/2 (ибо точка P есть середина BC); поэтому MN = BC/2. Также из параллелограмма AMPN получим: MP = AN = AC/2 и из параллелограмма AMPN - PN = AM = AB/2. Отсюда заключаем:

каждая средняя линия треугольника, соединяющая середины двух его сторон, параллельна третьей и равна ее половине.

109. Перейдем теперь к четырехугольникам и остановимся сначала на таких четырехугольниках, у которых две стороны параллельны. Принято называть такие четырехугольники трапециями . На чер. 118 изображены два различных вида трапеций: 1) трапеция ABCD, где BC || AD, но AB не параллельна CD, - эта трапеция имеет площадь (см. п. 79) и 2) трапеция A"B"C"D", где A"D" || B"C", - эта трапеция не имеет площади (п. 79).

Рассмотрим сначала трапецию ABCD (чер. 118 bis), имеющую площадь. Здесь BD || AD. Поэтому мы имеем две параллельных BC и AD и между ними отрезки AB и CD. Разделив эти отрезки пополам в точках M и N (AM = MB и CN = ND) и соединив их прямою MN, получим среднюю параллельную MN для BC и AD, т. е. MN || BC || AD. Отрезок MN этой прямой называется средней линиею трапеции (следует добавить: «соединяющей середины непараллельных сторон», потому что в трапеции, как и во всяком четырехугольнике, можно рассматривать 6 средних линий, что имеет место в п. 110). Итак, мы получили, что MN || BC || AD. Далее, построив диагональ AC, получим еще третий отрезок AC, заключенный между параллельными BC и AD - его середина должна лежать (п. 107) на средней параллельной, т. е. точка P, где пересекаются MN и AC, есть середина отрезка AC. Поэтому MP есть средняя линия треугольника ABC и PN - средняя линия ∆ACD. На основании предыдущего, имеем: MP = BC/2 и PN = AD/2. Отсюда получаем: MN = MP + PN = BC/2 + AD/2 или MN = (BC + AD)/2. Итак,

средняя линия, соединяющая середины непараллельных сторон трапеции, имеющей площадь, параллельна ее параллельным сторонам и равна их полусумме .

Пусть теперь имеем трапецию ABCD (чер. 118 bis), неимеющую площади. Здесь также BC || AD и поэтому середины M и N сторон AB и CD лежат на средней параллельной, т. е. здесь также имеем: MN || BC || AD. Построив диагональ AC, получим отрезок AC, заключенный между параллельными BC и AD, и его середина, точка P, должна лежать на средней параллельной. Поэтому PM есть средняя линия треугольника ABC и, следовательно PM = BC/2; также PN есть средняя линия ∆ABC и, след., PN = AD/2. Так как MN = PN – PM, то получим MN = PN – PM = AD/2 – BC/2 или MN = (AD – BC) / 2. Итак,

средняя линия, соединяющая середины непараллельных сторон трапеции, неимеющей площади, параллельна ее параллельным сторонам и равна их полуразности.

110. Пусть имеем какой-либо четырехугольник ABCD (имеющий площадь) - (чер. 119). Найдем середины M, N, P и Q его сторон и соединим их попарно. Получим 6 средних линий четырехугольника.

Вот свойства этих средних линий.

1) Средние линии, соединяющие середины последовательных сторон четырехугольника, образуют параллелограмм.

Для выяснения этого свойства построим диагональ AC. Тогда из ∆ABC имеем (п. 108) MN || AC и из ∆ACD на том же основании: PQ || AC, - следов., MN || PQ. Построив другую диагональ BD, найдем при ее помощи, что NP || MQ, следовательно, MNPQ есть параллелограмм.

2) Средние линии четырехугольника, соединяющие середины противоположных сторон, взаимно делятся пополам .

Это свойство теперь очевидно, так как MP и NQ являются диагоналями параллелограмма.
Через точку O пересечения прямых MP и NQ проходят также прямые, соединяющие середины диагоналей AC и BD (на чертеже диагональ BD не дана). Это следует из того, что AC И BD являются сторонами четырехугольника ACBD, не имеющего площади, к которому применимо все, изложенное в начале этого п.

111. Мы умели (пп. 57, 59) делить отрезок пополам и, следов., на 4, на 8 и вообще на 2n равных частей. Теперь мы можем разделить данный отрезок на 3, на 5 и вообще на сколько угодно равных частей.

Пусть, напр., требуется отрезок AB (чер. 120) разделить на 5 равных частей. Построим через точку A произвольную прямую AC (образующую с AB угол, отличный от выпрямленного) и отложим на AC пять произвольных, но равных между собою, отрезков AE = EF = FG = GH = HO. Построим прямую OB и через точки E, F, G и Н построим прямые EE", FF", GG", HH", параллельные OB.

Рассмотрим ∆AFF", так как AE = EF, то E есть середина стороны AF и EE" (она || FF") есть средняя линия этого треугольника, следовательно, AE" = E"F".

Рассмотрим затем трапецию EE"G"G. Так как EF = FG, FF" || EE", то FF" есть средняя линия трапеции EE"GG", - следовательно, E"F" = F"G". Также найдем, что GG" есть средняя линия трапеции FF"H"H и, следов., F"G" = G"H" и т. д. Соединяя полученные равенства, найдем AE" = E"F" = F"G" = G"H" = H"B", т. е. отрезок AB разделился на 5 равных частей.

Из решения этой задачи можно вывести заключение:

Если на одной стороне угла отложить равные отрезки и чрез их концы построить ряд параллельных прямых, то и на другой стороне угла получим равные между собой отрезки.

Добавление . Мы откладывали равные отрезки на одной прямой подряд, начиная от точки пересечения двух прямых (AB и AC чертежа 120), но возможно к такому же результату прийти и при ином способе отложения равных отрезков. На чертеже 120 bis дано два варианта такого построения: на прямой AD (см. чер. 120 bis слева или справа) отложим два равных отрезка AB и CD и через их концы построим параллельные AA" || BB" || CC" || DD". Затем возьмем точку O, середину отрезка BC, и построим OO" || BB" || CC" || AA" || DD". Тогда OO" есть средняя линия трапеции BCC"B"; поэтому B"O" = O"C (п. 109). Так как AB = CD и BO = OC, то AO также = OD; поэтому OO" есть также средняя линия трапеции ADD"A" (на чертеже справа эта трапеция ADD"A" - не имеющая площади, см. п. 109) - и также A"O" = O"D". Отсюда имеем A"O" – B"O" = O"D" – O"C" (ибо и уменьшаемые и вычитаемые обеих разностей равны), или A"B" = C"D". Возможны и иные комбинации (напр., отр. CD правой фигуры отодвинуть так, чтобы точка C оказалась правее точки пересечения прямых AD и A"D"). Общее заключение таково: если построены две прямые, на одной из них отложены как-либо два равных отрезка и через концы их построены параллельные, то эти последние выделят и на другой прямой два равных между собою отрезка.

112. Упражнения .

1. Через вершины данного треугольника построены прямые, параллельные его сторонам. Показать, что новый треугольник имеет стороны вдвое больше, чем стороны данного, и что вершины данного являются серединами сторон нового (сравн. упр. 7 из п. 54).
2. Построить треугольник, если даны середины трех его сторон.
3. Построить параллелограмм, если даны середины трех его сторон.
4. Известно (п. 110), что середины четырех сторон четырехугольника являются вершинами параллелограмма. Когда этот параллелограмм обращается в ромб, когда в прямоугольник, когда в квадрат?
5. Прямая, соединяющая вершину треугольника со срединою противоположной стороны (медиана) и прямая, соединяющая середины двух других сторон треугольника, взаимно делятся пополам.
6. Продолжим одну сторону треугольника на отрезок, равный этой стороне, и соединим конец отрезка со срединою другой стороны. Последняя соединяющая прямая отсекает от третьей стороны треугольника отрезок, равный 1/3 этой стороны. (Построить еще прямую, параллельную последней соединяющей прямой чрез вершину треугольника, противолежащую той его стороне, которая была продолжена).
7. Если на стороне AB параллелограмма ABCD отложить отрезок AM = (1/n)AB (напр., (1/7)AB) и соединить D с M, то DM пересечет диагональ AC в точке N так, что AN = (1/(n+1))AC (во взятом примере (1/8)AC).
   Для выяснения этого надо на продолжении стороны AB отложить BM" = AM и соединить C с M"; тогда C"M" || DM, – приметь п. 111.

Средняя линия фигур в планиметрии - отрезок, соединяющий середины двух сторон данной фигуры. Понятие употребляется для следующих фигур: треугольник, четырёхугольник, трапеция.

Средняя линия треугольника

Свойства

• средняя линия треугольника параллельна основанию и равна его половине.
• средняя линия отсекает треугольник, подобный и гомотетичный исходному с коэффициентом 1/2; его площадь равна одной четвёртой площади исходного треугольника.
• три средние линии делят исходный треугольник на четыре равных треугольника. Центральный из этих треугольников называется дополнительным или серединным треугольником.

Признаки

• если отрезок параллелен одной из сторон треугольника и соединяет середину одной стороны треугольника с точкой, лежащей на другой стороне треугольника, то это средняя линия.

Средняя линия четырёхугольника

Средняя линия четырёхугольника - отрезок, соединяющий середины противолежащих сторон четырёхугольника.

Свойства

Первая линия соединяет 2 противоположные стороны. Вторая соединяет 2 другие противоположные стороны. Третья соединяет центры двух диагоналей (не во всех четырёхугольниках диагонали пунктом пересечения делятся пополам).

• Если в выпуклом четырёхугольнике средняя линия образует равные углы с диагоналями четырёхугольника, то диагонали равны.
• Длина средней линии четырёхугольника меньше полусуммы двух других сторон или равна ей, если эти стороны параллельны, и только в этом случае.
• Середины сторон произвольного четырёхугольника - вершины параллелограмма . Его площадь равна половине площади четырёхугольника, а его центр лежит на точке пересечения средних линий. Этот параллелограмм называется параллелограммом Вариньона ;
• Последний пункт означает следующее: В выпуклом четырёхугольнике можно провести четыре средние линии второго рода . Средние линии второго рода - четыре отрезка внутри четырёхугольника, проходящие через середины его смежных сторон параллельно диагоналям. Четыре средние линии второго рода выпуклого четырёхугольника разрезают его на четыре треугольника и один центральный четырёхугольник. Этот центральный четырёхугольник является параллелограммом Вариньона .
• Точка пересечения средних линий четырёхугольника является их общей серединой и делит пополам отрезок, соединяющий середины диагоналей. Кроме того, она является центроидом вершин четырёхугольника.
• В произвольном четырёхугольнике вектор средней линии равен полусумме векторов оснований.

Средняя линия трапеции

Средняя линия трапеции

Средняя линия трапеции - отрезок, соединяющий середины боковых сторон этой трапеции. Отрезок, соединяющий середины оснований трапеции, называют второй средней линией трапеции.

Она рассчитывается по формуле: E F = A D + B C 2 {\displaystyle EF={\frac {AD+BC}{2}}} , где AD и BC - основания трапеции.

Введение

Геометрия является неотъемлемой составляющей общей культуры, а геометрические методы служат инструментом познания мира, способствуют формированию научных представлений об окружающем пространстве, раскрытию гармонии и совершенства Вселенной. Геометрия начинается с треугольника. Вот уже два тысячелетия треугольник является как бы символом геометрии, но он не символ. Треугольник - атом геометрии. Треугольник неисчерпаем - постоянно открываются его новые свойства. Чтобы рассказать обо всех известных его свойствах, необходим том сравнимый по объему с томом Большой энциклопедии. Мы хотим рассказать о средних линиях геометрических фигур и их свойствах.

В нашей работе прослеживается цепочка теорем, которая охватывает весь курс геометрии. Она начинается с теоремы о средних линиях треугольника и приводит к интересным свойствам тетраэдра и других многогранников.

Средняя линия фигур -- отрезок, соединяющий середины двух сторон данной фигуры.

Свойства средних линий

Свойства треугольника:

· при проведении всех трёх средних линий образуются 4 равных треугольника, подобных исходному с коэффициентом 1/2.

· средняя линия параллельна основанию треугольника и равна его половине;

· средняя линия отсекает треугольник, который подобен данному, а его площадь равна одной четверти его площади.

Свойства четырёхугольника:

· если в выпуклом четырехугольнике средняя линия образует равные углы с диагоналями четырехугольника, то диагонали равны.

· длина средней линии четырехугольника меньше полусуммы двух других сторон или равна ей, если эти стороны параллельны, и только в этом случае.

· середины сторон произвольного четырёхугольника -- вершины параллелограмма. Его площадь равна половине площади четырехугольника, а его центр лежит на точке пересечения средних линий. Этот параллелограмм называется параллелограммом Вариньона;

· Точка пересечения средних линий четырехугольника является их общей серединой и делит пополам отрезок, соединяющий середины диагоналей. Кроме того, она является центроидом вершин четырехугольника.

Свойства трапеции:

· средняя линия параллельна основаниям трапеции и равна их полусумме;

· середины сторон равнобедренной трапеции являются вершинами ромба.

Треугольник, четырехугольник, параллелограмм

К любому треугольнику KLM можно пристроить три равных ему треугольника АКМ, BLK, CLM, каждый из которых образует вместе с треугольником KLM параллелограмм (рис. 1). При этом AK = ML=KB, и к вершине К примыкают три угла, равные трем разным углам треугольника, в сумме составляющие 180°, поэтому К -- середина отрезка АВ; аналогично, L -- середина отрезка ВС, а М -- середина отрезка СА.

Теорема 1 . Если соединить в любом треугольнике середины сторон, мы получим четыре равных треугольника, причем средний составляет с каждым из трех других параллелограмм.

В этой формулировке участвуют сразу все три средние линии треугольника.

Теорема 2 . Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, параллелен третьей стороне треугольника и равен ее половине (см. рис. 1).

Именно эта теорема и обратная к ней -- о том, что прямая, параллельная основанию и проходящая через середину одной боковой стороны треугольника, делит пополам и другую боковую сторону,-- чаще всего нужны при решении задач.

Из теоремы о средних линиях треугольника вытекает свойство средней линии трапеции (рис. 2), а также теоремы об отрезках, соединяющих середины сторон произвольного четырехугольника.

Теорема 3 . Середины сторон четырехугольника являются вершинами параллелограмма. Стороны этого параллелограмма параллельны диагоналям четырехугольника, а их длины равны половинам длин диагоналей.

В самом деле, если К и L -- середины сторон АВ и ВС (рис. 3), то KL -- средняя линия треугольника ABC, поэтому отрезок KL параллелен диагонали АС и равен ее половине; если М и N -- середины сторон CD и AD, то отрезок MN также параллелен АС и равен АС/2. Таким образом, отрезки KL и MN параллельны и равны между собой, значит, четырехугольник KLMN -- параллелограмм.

В качестве следствия из теоремы 3 получаем интересный факт (т. 4).

Теорема 4 . В любом четырехугольнике отрезки, соединяющие середины противоположных сторон, делятся точкой пересечения пополам.

В этих отрезках можно увидеть диагонали параллелограмма (см. рис. 3), а в параллелограмме диагонали делятся точкой пересечения пополам (эта точка -- центр симметрии параллелограмма).

Мы видим, что теоремы 3 и 4 и наши рассуждения остаются верными и для невыпуклого четырехугольника, и для самопересекающейся четырехугольной замкнутой ломаной (рис. 4; в последнем случае может оказаться, что параллелограмм KLMN «вырожденный» -- точки К, L, М, N лежат на одной прямой).

Покажем, как из теорем 3 и 4 можно вывести основную теорему о медианах треугольника.

Теорема 5 . Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 2:1 (считая от вершины, из которой проведена медиана).

Проведем две медианы AL и СК треугольника ABC. Пусть О -- точка их пересечения. Середины сторон невыпуклого четырехугольника АВСО -- точки К, L,MиN (рис. 5) -- вершины параллелограмма, причем точкой пересечения его диагоналей КМ и LN для нашей конфигурации будет точка пересечения медиан О. Итак, AN = NO = OL и CM=MO = OK, т. е. точка О делит каждую из медиан AL и СК в отношении 2:1.

Вместо медианы СК мы могли бы рассмотреть медиану, проведенную из вершины В, и убедиться точно так же, что и она делит медиану AL в отношении 2:1, т. е. проходит через ту же точку О.

3.Четырехугольник и тетраэдр. Центры масс

Теоремы 3 и 4 верны и для любой пространственной замкнутой ломаной из четырех звеньев АВ, ВС, CD, DA, четыре вершины А, В, С, D которой не лежат в одной плоскости.

Такой пространственный четырехугольник можно получить, вырезав из бумаги четырехугольник ABCD и согнув его по диагонали под некоторым углом (рис. 6, а). При этом ясно, что средние линии KL и MN треугольников ABC и ADC остаются по-прежнему их средними линиями и будут параллельны отрезку АС и равны АС/2. (Здесь мы используем тот факт, что для пространства остается верным основное свойство параллельных прямых: если две прямые KL и MN параллельны третьей прямой АС, то KL и MN лежат в одной плоскости и параллельны между собой.)

Таким образом, точки К, L, М, N -- вершины параллелограмма; тем самым отрезки КМ и LN пересекаются и делятся точкой пересечения пополам. Вместо четырехугольника здесь можно говорить о тетраэдре -- треугольной пирамиде ABCD: середины К, L, М, N его ребер АВ, AC, CD и DA всегда лежат в одной плоскости. Разрезав тетраэдр по этой плоскости (рис. 6, б), мы получим параллелограмм KLMN, две стороны которого параллельны ребру АС и равны

АС/2, а две другие -- параллельны ребру BD и равны BD/2.

Такой же параллелограмм -- «среднее сечение» тетраэдра -- можно построить и для других пар противоположных ребер. Каждые два из этих трех параллелограммов имеют общую диагональ. При этом середины диагоналей совпадают. Итак, мы получаем интересное следствие:

Теорема 6 . Три отрезка, соединяющие середины противоположных ребер тетраэдра, пересекаются в одной точке и делятся ею пополам (рис. 7).

Этот и другие обсуждавшиеся выше факты естественно объясняются на языке механики -- с помощью понятия центра масс. В теореме 5 говорится об одной из замечательных точек треугольника -- точке пересечения медиан; в теореме 6 -- о замечательной точке для четверки вершин тетраэдра. Эти точки -- центры масс соответственно треугольника и тетраэдра. Вернемся сначала к теореме 5 о медианах.

Поместим в вершинах треугольника три одинаковых груза (рис. 8).

Массу каждого примем за единицу. Найдем центр масс этой системы грузов.

Рассмотрим сначала два груза, находящихся в вершинах А и В: их центр масс расположен в середине отрезка АВ, так что эти грузы можно заменить одним грузом массой 2, помещенным в середину К отрезка АВ (рис. 8, а). Теперь нужно найти центр масс системы из двух грузов: одного массой 1 в точке С и второго -- массой 2 в точке К. По правилу рычага, центр масс такой системы находится в точке О, делящей отрезок СК в отношении 2:1 (ближе к грузу в точке К с большей массой -- рис. 8, б).

Мы могли сначала объединить грузы в точках В и С, а затем -- полученный груз массой 2 в середине L отрезка ВС -- с грузом в точке А. Или сначала объединить грузы А и С, а. затем присоединить В. В любом случае мы должны получить тот же результат. Центр масс находится, таким образом, в точке О, делящей каждую из медиан в отношении 2:1, считая от вершины. Подобными соображениями можно было объяснить и теорему 4 -- тот факт, что отрезки, соединяющие середины противоположных сторон четырехугольника, делят друг друга пополам (служат диагоналями параллелограмма): достаточно поместить в вершинах четырехугольника одинаковые грузы и объединить их попарно двумя способами (рис. 9).

Конечно, четыре единичных груза, расположенных на плоскости или в пространстве (в вершинах тетраэдра), можно разбить на две пары тремя способами; центр масс находится посередине между серединами отрезков, соединяющих эти пары точек (рис. 10) -- объяснение теоремы 6. (Для плоского четырехугольника полученный результат выглядит так: два отрезка, соединяющие середины противоположных сторон, и отрезок, соединяющий середины диагоналей, пересекаются в одной точке О и делятся ею пополам).

Через точку О -- центр масс четырех одинаковых грузов -- проходят еще четыре отрезка, соединяющих каждый из них с центром масс трех других. Эти четыре отрезка делятся точкой О в отношении 3:1. Чтобы объяснить этот факт, нужно сначала найти центр масс трех грузов и потом присоединить четвертый.

4. Тетраэдр, октаэдр, параллелепипед, куб

В начале работы мы рассмотрели треугольник, разбитый средними линиями на четыре одинаковых треугольника (см. рис. 1). Попробуем проделать то же построение для произвольной треугольной пирамиды (тетраэдра). Распилим тетраэдр на части следующим образом: через середины трех ребер, выходящих из каждой вершины, проведем плоский разрез (рис. 11, а). Тогда от тетраэдра будет отрезано четыре одинаковых маленьких тетраэдра. По аналогии с треугольником можно было бы думать, что в серединке останется еще один такой же тетраэдр. Но это не так: у многогранника, который останется от большого тетраэдра после удаления четырех маленьких, будет шесть вершин и восемь граней -- он называется октаэдром (рис. 11,6). Удобно проверить это, используя кусок сыра в форме тетраэдра. Полученный октаэдр имеет центр симметрии, поскольку середины противоположных ребер тетраэдра пересекаются в общей точке и делятся ею пополам.

С треугольником, разбитым средними линиями на четыре треугольника, связана одна интересная конструкция: этот рисунок мы можем рассмотреть как развертку некоторого тетраэдра.

Представим себе остроугольный треугольник, вырезанный из бумаги. Перегнув его по средним линиям так, чтобы вершины сошлись в одной точке, и склеив сходящиеся в этой точке края бумаги, мы получим тетраэдр, у которого все четыре грани -- равные треугольники; его противоположные ребра равны (рис. 12). Такой тетраэдр называется полуправильным. Каждое из трех «средних сечений» этого тетраэдра -- параллелограммов, стороны которых параллельны противоположным ребрам и равны их половинам,-- будет ромбом.

Поэтому диагонали этих параллелограммов -- три отрезка, соединяющие середины противоположных ребер -- перпендикулярны друг другу. Среди многочисленных свойств полуправильного тетраэдра отметим такое: сумма углов, сходящихся в каждой его вершине, равна 180° (эти углы соответственно равны углам исходного треугольника). В частности, если начать с развертки в форме равностороннего треугольника, мы получим правильный тетраэдр, у которог

В начале работы мы видели, что каждый треугольник можно рассматривать как треугольник, образованный средними линиями большего треугольника. Прямой аналогии в пространстве для такого построения нет. Но оказывается, что любой тетраэдр можно рассматривать как «сердцевину» параллелепипеда, у которого все шесть ребер тетраэдра служат диагоналями граней. Для этого нужно проделать следующее построение в пространстве. Через каждое ребро тетраэдра проведем плоскость, параллельную противоположному ребру. Плоскости, проведенные через противоположные ребра тетраэдра, будут параллельны друг другу (они параллельны плоскости «среднего сечения» -- параллелограмма с вершинами в серединах четырех других ребер тетраэдра). Так получаются три пары параллельных плоскостей, при пересечении которых образуется нужный параллелепипед (две параллельные плоскости пересекаются третьей по параллельным прямым). Вершины тетраэдра служат четырьмя несмежными вершинами построенного параллелепипеда (рис. 13). Наоборот, в любом параллелепипеде можно выбрать четыре несмежные вершины и отрезать от него плоскостями, проходящими через каждые три из них, угловые тетраэдры. После этого останется «сердцевина» -- тетраэдр, ребра которого являются диагоналями граней параллелепипеда.

Если исходный тетраэдр полуправильный, то каждая грань построенного параллелепипеда будет параллелограммом с равными диагоналями, т.е. прямоугольником.

Верно и обратное: «сердцевиной» прямоугольного параллелепипеда служит полуправильный тетраэдр. Три ромба -- средние сечения такого тетраэдра -- лежат в трех взаимно перпендикулярных плоскостях. Они служат плоскостями симметрии октаэдра, полученного из такого тетраэдра отрезанием углов.

Для правильного тетраэдра описанный вокруг него параллелепипед будет кубом (рис. 14), а центры граней этого куба -- середины ребер тетраэдра -- будут вершинами правильного октаэдра, все грани которого -- правильные треугольники. (Три плоскости симметрии октаэдра пересекают тетраэдр по квадратам.)

Таким образом, на рисунке 14 мы видим сразу три из пяти платоновых тел (правильных многогранников) -- куб, тетраэдр и октаэдр.

Многоугольник - часть плоскости, ограниченная замкнутой ломаной линией. Углы у многоугольника обозначаются точками вершин ломаной. Вершины углов многоугольника и вершины многоугольника - это совпадающие точки.

Определение. Параллелограмм - это четырехугольник, у которого противолежащие стороны параллельны.

Свойства параллелограмма

1. Противолежащие стороны равны.
На рис. 11 AB = CD ; BC = AD .

2. Противолежащие углы равны (два острых и два тупых угла).
На рис. 11 ∠A = ∠C ; ∠B = ∠D .

3 Диагонали (отрезки прямой, соединяющие две противолежащие вершины) пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

На рис. 11 отрезки AO = OC ; BO = OD .

Определение. Трапеция - это четырехугольник, у которого две противолежащие стороны параллельны, а две другие - нет.

Параллельные стороны называются ее основаниями , а две другие стороны - боковыми сторонами .

Виды трапеций

1. Трапеция , у которой боковые стороны не равны,
называется разносторонней (рис. 12).

2. Трапеция, у которой боковые стороны равны, называется равнобокой (рис. 13).

3. Трапеция, у которой одна боковая сторона составляет прямой угол с основаниями, называется прямоугольной (рис. 14).

Отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции (рис. 15), называется средней линией трапеции (MN ). Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Трапецию можно назвать усеченным треугольником (рис. 17), поэтому и названия трапеций сходны с названиями треугольников (треугольники бывают разносторонние, равнобедренные, прямоугольные).

Площадь параллелограмма и трапеции

Правило. Площадь параллелограмма равна произведению его стороны на высоту, проведенную к этой стороне.

Определение

Параллелограмм – это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

Теорема (первый признак параллелограмма)

Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник – параллелограмм.

Доказательство

Пусть в четырехугольнике \(ABCD\) стороны \(AB\) и \(CD\) параллельны и \(AB = CD\) .

Проведём диагональ \(AC\) , разделяющую данный четырехугольник на два равных треугольника: \(ABC\) и \(CDA\) . Эти треугольники равны по двум сторонам и углу между ними (\(AC\) – общая сторона, \(AB = CD\) по условию, \(\angle 1 = \angle 2\) как накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых \(AB\) и \(CD\) секущей \(AC\) ), поэтому \(\angle 3 = \angle 4\) . Но углы \(3\) и \(4\) накрест лежащие при пересечении прямых \(AD\) и \(BC\) секущей \(AC\) , следовательно, \(AD\parallel BC\) . Таким образом, в четырехугольнике \(ABCD\) противоположные стороны попарно параллельны, и, значит, четырехугольник \(ABCD\) – параллелограмм.

Теорема (второй признак параллелограмма)

Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник – параллелограмм.

Доказательство

Проведём диагональ \(AC\) данного четырехугольника \(ABCD\) , разделяющую его на треугольники \(ABC\) и \(CDA\) .

Эти треугольники равны по трем сторонам (\(AC\) – общая, \(AB = CD\) и \(BC = DA\) по условию), поэтому \(\angle 1 = \angle 2\) – накрест лежащие при \(AB\) и \(CD\) и секущей \(AC\) . Отсюда следует, что \(AB\parallel CD\) . Так как \(AB = CD\) и \(AB\parallel CD\) , то по первому признаку параллелограмма четырёхугольник \(ABCD\) – параллелограмм.

Теорема (третий признак параллелограмма)

Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник – параллелограмм.

Доказательство

Рассмотрим четырехугольник \(ABCD\) , в котором диагонали \(AC\) и \(BD\) пересекаются в точке \(O\) и делятся этой точкой пополам.

Треугольники \(AOB\) и \(COD\) равны по первому признаку равенства треугольников (\(AO = OC\) , \(BO = OD\) по условию, \(\angle AOB = \angle COD\) как вертикальные углы), поэтому \(AB = CD\) и \(\angle 1 = \angle 2\) . Из равенства углов \(1\) и \(2\) (накрест лежащие при \(AB\) и \(CD\) и секущей \(AC\) ) следует, что \(AB\parallel CD\) .

Итак, в четырехугольнике \(ABCD\) стороны \(AB\) и \(CD\) равны и параллельны, значит, по первому признаку параллелограмма четырехугольник \(ABCD\) – параллелограмм.

Свойства параллелограмма:

1. В параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны.

2. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

Свойства биссектрисы параллелограмма:

1. Биссектриса параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.

2. Биссектрисы смежных углов параллелограмма пересекаются под прямым углом.

3. Отрезки биссектрис противоположных углов равны и параллельны.

Доказательство

1) Пусть \(ABCD\) – параллелограмм, \(AE\) – биссектриса угла \(BAD\) .

Углы \(1\) и \(2\) равны как накрест лежащие при параллельных прямых \(AD\) и \(BC\) и секущей \(AE\) . Углы \(1\) и \(3\) равны, так как \(AE\) – биссектриса. В итоге \(\angle 3 = \angle 1 = \angle 2\) , откуда следует, что треугольник \(ABE\) – равнобедренный.

2) Пусть \(ABCD\) – параллелограмм, \(AN\) и \(BM\) – биссектрисы углов \(BAD\) и \(ABC\) соответственно.

Так как сумма односторонних углов при параллельных прямых и секущей равна \(180^{\circ}\) , тогда \(\angle DAB + \angle ABC = 180^{\circ}\) .

Так как \(AN\) и \(BM\) – биссектрисы, то \(\angle BAN + \angle ABM = 0,5(\angle DAB + \angle ABC) = 0,5\cdot 180^\circ = 90^{\circ}\) , откуда \(\angle AOB = 180^\circ - (\angle BAN + \angle ABM) = 90^\circ\) .

3. Пусть \(AN\) и \(CM\) – биссектрисы углов параллелограмма \(ABCD\) .

Так как в параллелограмме противоположные углы равны, то \(\angle 2 = 0,5\cdot\angle BAD = 0,5\cdot\angle BCD = \angle 1\) . Кроме того, углы \(1\) и \(3\) равны как накрест лежащие при параллельных прямых \(AD\) и \(BC\) и секущей \(CM\) , тогда \(\angle 2 = \angle 3\) , откуда следует, что \(AN\parallel CM\) . Кроме того, \(AM\parallel CN\) , тогда \(ANCM\) – параллелограмм, следовательно, \(AN = CM\) .